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A的逆矩阵记作 A?1 = B. 隐真上

作者:admin 来源: 本站原创 时间: 2019-11-11 浏览次数:

  4.2 矩阵的初等行变换 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的秩 三、逆矩阵的概念 四、逆矩阵的求法 第1页 页 4.2 矩阵的初等行变换 记清矩阵的三种初等行变换并会用 方针 ?记清矩阵的三种初等行变换并会用 ?控制逆矩阵的概念、逆矩阵所满脚的 控制逆矩阵的概念、 控制逆矩阵的概念 运算律, 运算律,理解秩的概念 ?会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、 会用矩阵的初等行变换求逆矩阵 沉点 ?会得当用初等行变换 会得当用初等行变换 ?逆矩阵的概念及求法 逆矩阵的概念及求法 难点 ?精确求逆矩阵 精确求逆矩阵 第2页 页 一、矩阵的初等变换 (一)下列三种变换,称为矩阵的初等行变换: 下列三种变换,称为矩阵的初等行变换: 初等行变换 1.互换矩阵的两行 互换矩阵的两行; 互换矩阵的两行 2.用一非零乘矩阵的某行 用一非零乘矩阵的某行; 用一非零乘矩阵的某行 3.用乘矩阵的某行 加到其它的行上。 用乘矩阵的某行, 加到其它的行上。 用乘矩阵的某行 例如 0 1? (①,② ) ?2 6? ①× 1 ?1 3? ? ??2 → ? ? A=? ?? ? → ? ? ? ? 0 1? 2 6? 0 1? ? ? ? ? ①+②×(-3) ?1 0? ?0 1 ? = I 2 ? ? 第3页 页 一、矩阵的初等变换 (二)行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 1.定义 满脚以下前提的矩阵称为行阶梯形矩阵,简 定义 满脚以下前提的矩阵称为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵, 阶梯形矩阵: 称阶梯形矩阵: (1)矩阵的零行(若存正在)正在矩阵的最下方; )矩阵的零行(若存正在)正在矩阵的最下方; (2)各个非零行的第一个非零元素的列标跟着行标 ) 的增大而严酷增大 ?1 8 -4 ? ? 3 2 0 1 -9? ? ? ? ? 例如, 例如,矩阵 ?0 1 3 ? 和 ?0 0 2 1 0 ? ?0 0 0 0 0 ? ?0 0 2 ? ? ? ? ? 都是阶梯形矩阵。 都是阶梯形矩阵。 第4页 页 一、矩阵的初等变换 2.行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵 若是行阶梯形矩阵还满脚以下前提,称为行简化阶梯形矩阵 行简化阶梯形矩阵: 若是行阶梯形矩阵还满脚以下前提,称为行简化阶梯形矩阵: (1)各非零行的第一个非零元素都是; )各非零行的第一个非零元素都是; (2)所有第一个非零元素所正在列的其余元素都是0. )所有第一个非零元素所正在列的其余元素都是0 ?1 ?0 矩阵 ?0 ? ? ?0 0 0 2? ?1 0 0 0 3 ? ? 1 0 ? 1? ? ? 和 ?0 1 2 0 ? 1? 是行简化阶梯阵. 是行简化阶梯阵. 0 1 3? ?0 0 0 1 1 ? ? ? ? 0 0 0? 例如, 例如 任何矩阵 A 颠末一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵 也可化成行简化阶梯形矩阵. 也可化成行简化阶梯形矩阵. 第5页 页 一、矩阵的初等变换 例1 将 ?1 2 ? 1 ? 2 ? A = ?2 ? 1 1 1 ? ? ? ?3 1 0 ? 1 ? ? ? 化成简化行阶梯阵。 化成简化行阶梯阵。 1 5 3 ? 5 0 ? 0 ? ? ? 1? ? 0 ? ? ? 过程赐教材例1 成果为: 过程赐教材例1,成果为: ? ?1 ? ?0 ? ?0 ? ? 0 1 0 留意:矩阵的行简化阶梯形矩阵是专一的, 留意:矩阵的行简化阶梯形矩阵是专一的,而矩阵的阶 梯形矩阵并不是专一的,可是一个矩阵的阶梯形矩阵中 梯形矩阵并不是专一的, 非零行的个数是专一的.矩阵的这一特征是矩阵主要的数 非零行的个数是专一的 矩阵的这一特征是矩阵主要的数 字特征. 字特征. 第6页 页 二、矩阵的秩 1.定义 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数,称为矩 定义 矩阵 的阶梯形矩阵中非零行的个数, 的阶梯形矩阵中非零行的个数 的秩, 阵A的秩,记做秩 或r(A). 的秩 记做秩(A)或 . 由定义可知求矩阵的秩,只需把它化为阶梯形矩阵, 由定义可知求矩阵的秩,只需把它化为阶梯形矩阵, 阶梯形矩阵中非零行的个数,就是矩阵的秩. 阶梯形矩阵中非零行的个数,就是矩阵的秩. 2.求法 化为阶梯形阵,非零行的个数,就是矩阵的秩. 求法 化为阶梯形阵,非零行的个数,就是矩阵的秩. ?3 ? 1 2 0 ? 例2 求 A = ?1 1 ? 4 2? r ( A) 取 r ( A Τ ) ? ? ?0 ? 2 3 1 ? ? ? r ( A Τ ) = r ( A) = 3 Τ 对于肆意矩阵 A 都有 r ( A ) = r ( A) 第7页 页 二、矩阵的秩 4.满秩矩阵 满秩矩阵 阶方阵A的秩等于 是满秩的, 非奇异阵。 若n阶方阵 的秩等于 则称 是满秩的,或非奇异阵。 阶方阵 的秩等于n, 则称A是满秩的 :任何满秩矩阵颠末初等行变换均能化为单元阵。 :任何满秩矩阵颠末初等行变换均能化为单元阵。 : :方阵可逆的充要前提是其为满秩阵 例3 判断下列矩阵能否可逆? 判断下列矩阵能否可逆? ?1 1 3 ? A = ?2 3 7 ? ? ? ?3 4 9 ? ? ? ?1 2 3? B = ?0 2 9 ? ? ? ? 2 4 6? ? ? r ( A) = 3 A可逆,B不成逆。 可逆, 不成逆 不成逆。 可逆 r ( B) = 2 第8页 页 三、逆矩阵的概念 引入:正在数的运算中, 引入:正在数的运算中, 当数 a ≠ 0 时,有 aa ?1 = a ?1a = 1, 1 的逆); 此中 a = 为 a 的倒数 (或称 a 的逆); a ?1 正在矩阵的运算中, 正在矩阵的运算中, 单元阵 E 相当于数的乘法运算中 ? 的1,永利正网。 若是存正在一个矩阵 A , 使得 , ?1 AA = A A = E , 逆矩阵. 则矩阵 A?1 称为 A 的逆矩阵 第9页 页 ?1 ?1 三、逆矩阵的概念 1.逆矩阵的定义 1.逆矩阵的定义 阶方阵A,若存正在n阶方阵 阶方阵B,使得AB= = , 设n阶方阵 ,若存正在 阶方阵 ,使得 =BA=E,则 阶方阵 逆矩阵, 可逆阵。 称 B 为 A 的逆矩阵,称 A 是可逆阵。 A的逆矩阵记做 A?1 = B. 现实上, 成立, 互为可逆矩阵。 现实上,若AB=BA=E成立,则A取B互为可逆矩阵。 = = 成立 取 互为可逆矩阵 例4 ? 1 ? 1? ? 1 2 1 2? ?, B = ? 设A = ? ?, ?1 1 ? ? ? 1 2 1 2? ∴ B 是 A 的一个逆矩阵 . 第10页 页 Q AB = BA = E , 三、逆矩阵的概念 ?1 0? 例5 矩阵 A = ? ? 2 0 ? 就无逆矩阵 。 ? ? ? ? a11 ? ? 0 例6 矩阵 A = ? ... ? ? 0 ? 0 a 22 ... 0 ... 0 ? ? ... 0 ? ... ... ? ? ... a nn ? ? aii ≠ 0(i = 1,2,..., n) 的逆矩阵为 ? ? a 111 ? ? 0 ?1 A =? ? ... ? 0 ? 0 a ?1 22 ... 0 ... 0 ? ? ... 0 ? ? ... ... ? ... a ?1 ? nn ? 第11页 页 三、逆矩阵的概念 2. 2. 可逆, 是独一的。 若A可逆,则 A ?1 是独一的。 可逆 3.运算律 3.运算律 若A可逆,数k 不为 ,则 可逆, 不为0, 可逆 (A ) ?1 ?1 =A (kA) ?1 1 ?1 = A k ( AT ) ?1 = ( A ?1 ) T ( AB ) ?1 = B ?1 A ?1 第12页 页 四、逆矩阵的求法 初等变换法: 初等变换法: [ AM I ] →[I M A?1 ] 求例3中矩阵 的逆矩阵。 中矩阵A的逆矩阵 例7 求例 中矩阵 的逆矩阵。 ?1 0 0 M 1 ? 3 2 ? ?1 1 3 M 1 0 0 ? (?2 3 7 M 0 1 0? ?①+②×?→?0 1 0 M ? 3 0 1 ? ? ?1) ? [AMI ] = ? I ? ? ?0 0 1 M 1 1 ? 1? ?3 4 9 M 0 0 1? ? ? ? ? ? 1 ?3 2 ? A ?1 = ?? 3 0 1? ? ? ?1 1 ? 1? ? ? 第13页 页 小 结 1. 逆矩阵、逆矩阵运算律 逆矩阵、 满秩 2.逆矩阵 A?1 存正在 ? A满秩 . 3. 逆矩阵的计较方式、矩阵秩的求法 逆矩阵的计较方式、 初等变换法 功课 P145 1,2,5 , , 第14页 页 思 考 题 若 A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B能否有独一解 X = A ?1 B ? 矩阵方程 YA = B 能否有独一解 Y = BA ?1 ? 第15页 页 思虑题解答 答 是的 . 这是因为 A ?1的独一性决定的 . 第16页 页

  4.2初等行变换,逆矩阵(批改)_理学_高档教育_教育专区。4.2 矩阵的初等行变换 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的秩 三、逆矩阵的概念 四、逆矩阵的求法 第1页 页 4.2 矩阵的初等行变换 记清矩阵的三种初等行变换并会用 方针 ?记清矩阵的三种初等